Resumen
Las líneas temporales africanas pueden ser preservadas en un sentido holístico y desde el punto de vista de la percepción. Son reconocibles aun cuando las proporciones matemáticas entre sus valores sean alteradas, como ha sucedido con la clave cubana, según J. Pressing. Esto refuta la afirmación de G. Kubik de que las líneas temporales son invariables y cualquier alteración en su estructura matemática disuelve el patrón. Los criterios de Pressing complementan los de R. A. Pérez Fernández, para quien en Latinoamérica ha ocurrido un proceso de transformación que ha convertido los ritmos ternarios africanos, incluidas las líneas temporales, en binarios, debido a un factor sicológico y también a factores socioculturales. Así pues, las líneas temporales no son invariables culturales, como Kubik asevera además.

Palabras clave: RITMO, CUBA, AFROAMÉRICA

Abstract
African time lines may be preserved in a holistic sense and from the viewpoint of perception. They are recognisable even though the mathematical ratios between their values should be altered, as it has happened with the Cuban clave, according to J. Pressing. This refutes G. Kubik’s claim that time lines are invariable and any alteration in their mathematical structure dissolves the pattern. Pressing’s criteria are complementary to those posed by R. A. Pérez Fernández, for whom a transformation process has taken place in Latin America which has turned African ternary rhythms, time lines included, to binary ones, due to a psychological factor, and socio-cultural factors as well. Thus, time lines are not cultural invariables, as Kubik additionally asserts.

Key words: RHYTHM, CUBA, AFROAMERICA

Este artículo ha sido motivado principalmente por un párrafo contenido en el ensayo Otra visión de la música popular cubana, del musicólogo cubano Leonardo Acosta (2004). En éste se alude, aunque tácitamente, al libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina (Pérez Fernández 1986), de nuestra autoría,^[1] libro que Acosta considera una ”elucubración en torno a los ritmos afrocubanos”. Nuestro propósito es, pues, refutar las críticas a esta obra vertidas por Acosta en dicho párrafo. Ello también dará pie para el comentario de ciertos puntos de vista expuestos por Peter Manuel en relación con la rítmica africana y la música de baile latina, así como para una discusión de algunos criterios contradictorios expresados por Gerhard Kubik en torno a las líneas temporales africanas en general y a una línea temporal cubana en particular, la llamada clave de son, dado que Acosta busca apuntalar sus referidas críticas con sendas citas de los autores mencionados (Manuel 1995; Kubik 1998).

El párrafo en cuestión es el siguiente:

Otra elucubración en torno a los ritmos afrocubanos es la de la “binarización” de la música africana supuestamente “ternaria”, tesis cuyo único problema consiste en que la música africana o de descendencia africana nunca ha sido ternaria. Y aun cuando el compás de 12/8 a menudo parece el más adecuado para esta música (compás mixto que es binario y ternario a la vez, como el 6/8), hay toques de tambor que para ser llevados a la notación occidental requerirían más bien compases como el 5/4, 6/4, 7/4, 7/8, etcétera, si pretendemos escribirlos más acorde con su “respiración” natural. Hasta ahora el acercamiento más logrado con vista a la notación de la polirritmia africana se consigue a través de los esquemas matemáticos conocidos como asymetric [sic] time line patterns (patrones de tiempo asimétricos o patrones metrorrítmicos asimétricos), aplicables a la rítmica de África Occidental y Central, el Caribe y Brasil (no así a la de África Oriental), cuya estructura intrínsecamente matemática permanece intacta a pesar de las frecuentes variantes de la acentuación, instrumentación y otros parámetros” (Acosta 2004: 51-52). 

A continuación se procederá a analizar el párrafo citado, separándolo en cuatro segmentos.

1).- “Otra elucubración en torno a los ritmos afrocubanos es el de la ‘binarización’ de la música africana supuestamente ‘ternaria’, tesis cuyo único problema consiste en que la música africana o de descendencia africana nunca ha sido ternaria” (Acosta 2004: 51).

En lo relativo a este punto hay que decir, en primer lugar, que “ritmo ternario” es una expresión que ha sido utilizada por J. H. Kwabena Nketia para referirse a las líneas temporales africanas que suelen escribirse en 12/8 (Nketia 1974: 132). Al respecto, tiene razón Gerhard Kubik cuando escribe:

El patrón estándar africano occidental de doce pulsaciones es concebido generalmente como un ritmo ternario desde el punto de vista de los bailadores (lo cual no es necesariamente el punto de vista de cada uno de los músicos participantes). En este caso los bailadores ejecutan dos o cuatro pasos principales por las doce pulsaciones de la línea temporal, mientras otras partes del cuerpo se mueven simultáneamente en un ritmo diferente (Kubik 1979: 21).^[2]

Los pasos de los bailadores a los que alude Kubik corresponden a la pulsación básica. Y, al respecto, lo esencial es que la subdivisión de esta pulsación básica en tres unidades elementales le confiere el sello característico a dicha estructuración rítmica.

Es revelador que un matemático y científico de la computación como lo es Godfried Toussaint no ponga reparos al adjetivo ternario aplicado a las líneas temporales africanas, como lo demuestra el título mismo de uno de sus artículos: “Classification and Phylogenetic Analysis of African Ternary Rhythm Timelines” (Toussaint 2003).

Con esta breve explicación se dan también por respondidas las reservas implícitas en las siguiente renglones de un artículo de Peter Manuel, quien escribe:

Una gran parte de la expresividad de estas técnicas [la subdivisión binaria con fraseo ternario y, a la inversa, la subdivisión ternaria con fraseo binario] se debe a la manera en que establecen un sentido de polirritmia temporal pero muy patente. Podemos afirmar que su uso preserva en la música afrolatina algo de la complejidad rítmica que de otro modo se hubiera perdido cuando las formas cuaternarias de la música popular reemplazaron a las polimetrías estructurales (12/8), tan arraigadas en la música africana y neoafricana (Manuel 2004[1998]: 142).

Al final del fragmento citado, Manuel intercala la nota 16, en la cual se lee lo siguiente:

Esta transformación fundamental de las estructuras polimétricas africanas y el compás ternario español a los ritmos cuaternarios de la música latina moderna, aún no ha sido explorada analíticamente, aunque podemos encontrar una tentativa un tanto ambigua en la obra de Pérez Fernández (1987) (Ibidem).

Como puede observarse, la terminología de Manuel es innecesariamente complicada, además de impropia (cuaternario, polimetrías estructurales), y contribuye, por su carácter individual, a la Babel terminológica que ha sido, con razón, objeto de la crítica por parte de algunos estudiosos, particularmente por Kofi Agawu (2003: 71-73). Por otra parte, Agawu (2003: 79-86) pone seriamente en tela de juicio la idoneidad del término polimetría aplicado a la música africana, en contraste con el mas apropiado término polirritmia.

En relación con la supuesta índole “un tanto ambigua” de la nuestra obra (Pérez Fernández 1986), según el juicio de Peter Manuel, habrá oportunidad de reflexionar páginas más adelante, donde se abordará la crítica a ciertos planteamientos de Gerhard Kubik.

2).- “Y aun cuando el compás de 12/8 a menudo parece el más adecuado para esta música (compás mixto que es binario y ternario a la vez, como el 6/8), hay toques de tambor que para ser llevados a la notación occidental requerirían más bien compases como el 5/4, 6/4, 7/4, 7/8, etcétera, si pretendemos escribirlos más acorde con su ‘respiración’ natural” (Acosta 2004: 51-52).

En la nota 14 del segundo capítulo (“De complejos genéricos y otras cuestiones”) del citado libro de Acosta (2004: 52), colocada al final del párrafo aquí analizado, su autor se remite a Manuel (1995) “en cuanto al carácter casi idóneo del compás de 12/8” (Acosta 2004:70).  En efecto, el compás más adecuado para la transcripción de buena parte de la música africana en la notación occidental convencional es el 12/8, aunque existen, incluso en este tipo de notación, diversas maneras de representar gráficamente los ritmos africanos, tal como muestra el citado investigador ghanés Kofi Agawu (2003: 75). Mucho depende de los concepciones y propósitos de quien transcribe. Pero en relación con el compás de 6/4 propuesto por Acosta ˚que resulta del todo superfluo si se emplea el 12/8˚, es de señalar que precisamente ese mismo 12/8 es hoy en día un compás que reconocidamente puede albergar diferentes distribuciones del tiempo, incluso en la música de concierto europea. Dos teóricos de la música alemanes han escrito: “Como ya se estableció para el siglo XIX, para el siglo XX llegan también desde la música folclórica de países no europeos y de países de Europa meridional y sudoriental estímulos y desarrollos decisivos en el campo rítmico-métrico” (Mehner y Hager 1983: 119). Dichos teóricos dejan sentado, en relación con el ritmo en el siglo XX, que “el compás pierde progresivamente su definición como secuencia ordenada y uniforme de diferentes grados de acentuación” (Ibidem). Así, uno de las tareas propuestas al estudiante por los citados autores en el mencionado libro consiste en ejercicios polirrítmicos y polimétricos, entre ellos, dos basados en el compás de 12/8, cuyos diferentes ritmos simultáneos serían susceptibles de ser escritos por separado en 3/2 y 6/4, además del consabido 12/8. Todos ellos están implícitos en este último cifrado de compás (cf. Mehner y Hager 1983: 121-122).

Y en referencia a los compases 5/4, 7/4 y 7/8, vale la pena recordar un agudo comentario de Kubik:

Para los observadores externos ˚europeos, norteamericanos y también africanos˚ con experiencia predominante en la llamada “música culta” europea, en mucha música africana no son reconocibles ni el beat ni la pulsación elemental, puesto que, en correspondencia con los hábitos auditivos enculturados, los esquemas de compás europeos son proyectados en la música no habitual. Uno de los indicios más seguros de que esto sucede consiste en que quien analiza comienza a oír en las piezas musicales africanas un constante “cambio de compás” y las escribe de la manera correspondiente en la notación, o cuando cree oír un compás basado en los más inusuales números primos, como acaso 7/4, 11/8 o 13/8 (Kubik 1988: 78)

Como se sabe, los ritmos característicos de África occidental y central se basan en ciclos de 8, 12, 16 y 24 pulsaciones elementales, es decir, potencias del 2 o bien múltiplos del 2 y del 3. No en números primos.

3).- “Hasta ahora, el acercamiento más logrado con vista a la notación de la polirritmia africana se consigue a través de los esquemas matemáticos conocidos como asymetric [sic] time line patterns (patrones de tiempo asimétricos o patrones metrorrítmicos asimétricos), aplicables a la rítmica de África Occidental y Central, el Caribe y Brasil (no así a la de África Oriental)” (Acosta 2004: 52).

En este segmento de la cita de Acosta hay dos aspectos a considerar. Uno es  lo referente al sistema de notación más idóneo para la música africana. El otro es la notable ausencia del término y concepto línea temporal, que, a juzgar por las dos inexactas traducciones al español de la expresión asymmetric time line patterns contenidas en la cita anterior, es desconocida para Leonardo Acosta. Una versión española correcta de dicha expresión sería ‘patrones de líneas temporales asimétricos’.

Los aludidos “esquemas matemáticos” son simplemente una forma de representación gráfica de los patrones de líneas temporales asimétricos, que constituyen su referente. No hay que confundir, pues, el significado con su significante.

Para representar gráficamente la música africana se han utilizado diversos recursos de notación. Uno de ellos es, en efecto, el empleado por Kubik para representar las líneas temporales y otros patrones rítmicos ejecutados en idiófonos de golpe directo, como la campana de percutor externo, o idiófonos de golpe indirecto, tales como las sonajas; o bien los pasos de los bailadores y la pulsación básica.  Pero ese sistema no es apropiado para la notación de las ejecuciones en los membranófonos africanos ni mucho menos para la notación de música para instrumentos de afinación determinada o del canto, a una o más voces. Existen asimismo otras formas de notación, como el llamado ‘método de notación por casillas’ (Box Notation Method) ideado en 1962 por Philip Harland en la Universidad de California en Los Ángeles (UCLA), y que es una manera popular de representar ritmos utilizada por percusionistas que no leen música (Toussaint 2002).^[3] Se le ha llamado también ‘sistema de casilla por unidad de tiempo’, TUBS, por sus siglas en inglés (Time Unit Box System). Éste fue adoptado por James Koetting con algunas adiciones a la grafía relativas a las particularidades tímbrico-tonales de los membranófonos y su modo de ejecución en la transcripción de un toque de tambor de los ewe de Ghana, en su artículo titulado “The Analysis and Notation of West African Drum Emsemble Music”, publicado en 1970 por la UCLA en Selected Reports, 1(3), y citado por Mantle Hood (1971: 238, 240).^[4]. Con posterioridad, ese tipo de sistema de notación ha sido utilizado ampliamente por Simha Arom (cf. 1991). Al decir de Godfried Toussaint (2002), el sistema de casillas es el más apropiado para el uso en matemática, mientras que el sistema basado en el empleo de  “x” y “.” es ciertamente el más cómodo cuando la representación de estos patrones rítmicos es parte de un texto (Ibidem). Por su parte, Jeff Pressing (1983) utiliza con frecuencia dígitos, por ejemplo, 22323, para representar la línea temporal de la música africana conocida como patrón estándar. En la notación usada por Kubik. el mismo se representaría así: [ x . x . x . . x . x . . ] 

Con todo, cuando se trata de representar no sólo la polirritmia, sino también la polifonía instrumental africana, la notación con figuras musicales en el pentagrama, complementada con algunos signos especiales, tal como lo propusieran Otto Abraham y Erich M. von Hornbostel (1990) en la primera década del siglo XX,  sigue teniendo toda vigencia. Ello queda demostrado por la calidad y cantidad de las transcripciones de música africana realizadas en este sistema de notación por Simha Arom (1985).

Como es ampliamente conocido, el concepto y término de línea temporal, acuñado por Kwabena Nketia, es básico en el estudio teórico del ritmo africano. Al respecto, Nketia escribe:

Debido a la dificultad de mantener un tiempo metronómico subjetivo de esta manera, las tradiciones africanas facilitan este proceso exteriorizando la pulsación básica. […] se puede mostrar esto mediante el palmoteo o mediante los golpes de un simple idiófono. La directriz que está relacionada con el tramo temporal de esta manera ha venido a ser descrita como línea temporal (Nketia 1974: 131).

Kofi Agawu ha rebautizado la línea temporal con el nombre griego topos, (Agawu 2004: 73), lo cual contribuye a la proliferación de términos relativos al ritmo africano criticada por él mismo. 

El término línea temporal, como traducción del inglés time line,  fue usado por primera vez en una obra publicada en español por nosotros (cf Pérez Fernández 1986: 63-64, 70-75). Con posterioridad fue empleado en el excelente trabajo de la musicóloga ecuatoriano-cubana María Elena Vinueza González (1988: 107) acerca de la cultura musical arará (de origen ewe-fon) de la provincia de Matanzas, Cuba, con base en un trabajo inédito nuestro tilulado Ritmos de cencerro, palmadas y clave en la música cubana (Pérez Fernández 1979) incluido por Vinueza González en la bibliografía de su libro. Línea temporal es, pues, un término ya incorporado a la musicología cubana, que se aplica precisamente a las diversas líneas temporales (patrones rítmicos de cencerro, palmadas y clave) existentes en la música tradicional y popular de Cuba. 

Es importante destacar, por otro lado, que en Cuba las líneas temporales no son sólo empleadas en la música de los cultos de origen africano (regla de ocha o santería,  regla conga o palo monte, sociedad secreta abakuá, regla arará), en el son y en la rumba. Éstas son empleadas también en el punto cubano, un género musical de origen predominantemente hispánico característico del guajiro o campesino cubano (Pérez Fernández 1986: 71-72), salvo en las provincias del extremo sudeste de la isla. En ese contexto existen varios patrones de líneas temporales de siete percusiones a las cuales se aplican algunos de los recursos africanos de variación rítmica ternarios identificados por nosotros (Pérez Fernández 1986: 72-74, 107), por lo cual en ciertos casos pueden convertirse en patrones de seis percusiones. Algunas de dichas líneas temporales son:

(12) [ x . x x . x x . x . x . ] o bien 2121222

(12) [ x x . x . x . x x . x . ] o bien 1222122

(12) [ x x . x . x . . x . x . ] o bien 122322

Con otro fraseo más esclarecedor desde el punto de vista teórico, dichas líneas temporales podría escribirse así:^[5]

(12) [ x . x . x . x . x x . x ]

(12) [ . x x . x . x x . x . x ]

(12) [ . . x . x . x x . x . x ] 

Decimos que este fraseo resulta más esclarecedor puesto que permite observar la relación que existe entre la primera línea temporal presentada aquí y la línea temporal característica de la música arará de Jovellanos, provincia de Matanzas, estudiada por María Elena Vinueza González (1988: 106-115) en el contexto del conjunto instrumental arará. Aun cuando dicha línea temporal arará presenta un fraseo que parte de la segunda percusión del patrón. Esta segunda percusión corresponde a lo que Kubik ha llamado ‘punto inicial’ (Einsatzpunkt, en alemán, o starting point, en inglés), que no coincide con el denominado ‘punto axial’ (Angelpunkt, en alemán, o pivot point, en inglés) de un patrón dado (cf. Kubik 1988: 93). Éste último delimita el ciclo, o el ‘tramo temporal’ (time span), según la terminología propuesta por Nketia (1974: 126).

En el caso de la segunda y tercera líneas temporales, se pone de manifiesto su parentesco con la línea temporal llamada por Toussaint (2003) bembé-2, bastante común en la música de los cultos de origen yoruba en Cuba, y que se transcribe a continuación:

(12) [ x. x. x . x x. x . x ]  o bien 2221221

4).- “[La] estructura intrínsecamente matemática [de los asymmetric time line patterns] permanece intacta a pesar de las frecuentes variantes de la acentuación, instrumentación y otros parámetros” (Acosta 2004: 52). 

Habrá que comenzar diciendo que Kofi Agawu ha señalado la existencia de una serie de mitos relativos al ritmo africano en su libro Representing African Music (Agawu 2003). Aquí se intentará mostrar que la recurrente afirmación de Kubik en el sentido de que las líneas temporales son invariables carece de fundamento y constituye una contradicción lógica con una proposición que él insinúa como posible. Es, como se verá, un mito más acerca del ritmo africano.

En un párrafo del artículo de Kubik parafraseado por Acosta, el etnomusicólogo austríaco escribe:

“…, la matemática de los llamados patrones de líneas temporales asimétricos en la música africana […] es un dominio que es inmune a todas las influencias sociales, culturales y ambientales […]. La acentuación, las sílabas mnemotécnicas y la instrumentación de los patrones de líneas temporales son altamente variables, pero nadie puede cambiar su estructura matemática intrínseca. Cualquier intento tal simplemente destruye el patrón. Los patrones de líneas temporales o bien son transmitidos o no son transmitidos (Kubik 1998).

En términos muy semejantes se había expresado el citado autor en otro trabajo (Kubik 1993: 438). Y en su libro sobre los orígenes del blues manifiesta, en esencia, la misma idea, recalcando aun más su concepción de las líneas temporales como invariables culturales: 

“El hecho más importante acerca de los patrones de líneas temporales asimétricos es que sus estructuras matemáticas son invariables culturales, es decir, su matemática no puede ser cambiada por determinantes culturales. Son inmunes a todas las influencias sociales, culturales o ambientales. Uno puede cambiar la instrumentación, la acentuación, la velocidad, el punto de partida de un patrón de línea temporal y las sílabas mnemotécnicas usadas para enseñarlo, pero no su estructura matemática. Cualquier intento de cambiar eso disuelve el patrón” (Kubik 1999: 56).

Kubik destaca, asimismo, una clara oposición binaria con respecto a la posibilidad de transmisión de las líneas temporales en los casos de trasplantes culturales cuando asevera categóricamente: “En los trasplantes culturales los patrones de líneas temporales o bien son transmitidos o no son transmitidos” (Ibidem).

Pero, no obstante su rotunda y reiterada negación de la variabilidad de las líneas temporales, Kubik ha entrevisto la posibilidad de que la clave del son, una típica línea temporal no sólo de la música cubana sino de la música latina en general, sea resultado de una transformación binaria. En ese sentido ha escrito: 

En la conexión histórica de esta famosa clave con los patrones de líneas temporales de África, llama la atención que esta clara expresión ‘binarizada’ que se extiende a un ciclo de dieciséis no parece encontrarse en las culturas de África central ni occidental. Allí hay un patrón con el mismo número de percusiones (cinco), aunque éstas se extienden por sobre 12 pulsaciones elementales. La comparación de ambos patrones da por resultado:

patrón de la clave           (16) x . . x . . x . . . x . x . . .

patrón de 12 puls.          (12) x . x . x . . x . x . .

Si la clave cubana es por consiguiente una reinterpretación hispanocubana de modelos africanos, es algo a lo que apenas se puede responder; pues siempre que el patrón de clave se escucha en África o también en otros países latinoamericanos, ello podría ser una influencia reciente de la música cubana expandida a través de los medios. Por otro lado, la actual ausencia de la versión de dieciséis pulsaciones en géneros musicales tradicionales de África central es todavía explicable: esta versión podría haberse perdido o haberse tornado obsoleta en África, aunque fuera popular en los siglos XVI, XVII y XVIII; habría sido exportada entonces al Nuevo Mundo para sobrevivir luego aparte de sus regiones de difusión africanas (como algunos otros rasgos que entretanto se han perdido en África pero perviven en las culturas afroamericanas) (Kubik y Oliveira Pinto 1994: 243).

En primer lugar se impone destacar que Kubik no parece conocer la existencia del libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina, ni de las tesis expuestas en éste.^[6] Es importante puntualizar, en vista de ello, que en la figura 65 del citado libro de Pérez Fernández aparecen las dos líneas temporales a las que alude Kubik. La una como resultado de la binarización de la otra. Y en la figura 64 se presentan las cuatro fases del proceso de binarización identificadas previamente por nosotros (1986: 105).

Pero yendo específicamente a la cita de Kubik, se constatan algunos hechos. En primer lugar, Kubik observa que el patrón correspondiente a la clave del son no parece encontrarse en África occidental ni central, y en caso de que aquél apareciera allí, podría sospecharse que es debido a una influencia cubana.^[7] Asimismo, Kubik emplea el adjetivo ‘binarizada’, para referirse a la clave como expresión de las líneas temporales de África, caracterizadas igualmente por cinco percusiones, lo cual implica una transformación que habría llevado del ciclo ternario de doce pulsaciones al ciclo binario de dieciséis pulsaciones elementales.

En contraste con las conjeturas de Kubik, se examinarán aquí algunos de los puntos de vista expuestos por Jeff Pressing en un trabajo casi contemporáneo con nuestro libro, galardonado con un Premio de Musicología “Casa de las Américas” en 1982. Pressing (1983:42-43) escribe que el patrón de la clave, que él transcribe como 33424, “puede también ser comparado con el patrón básico de cinco percusiones de 12/8, transcrito 22323, alineando los dos patrones simultáneamente y expresando las duraciones en unidades de 1/48 de ciclo, el mínimo común múltiplo”, lo cual da por resultado:

8+8+12+8+12/48

9+9+12+6+12/48

Jeff Pressing comenta a continuación que es evidente que los dos patrones dividen el espacio de manera muy similar, a pesar de la diferente longitud de sus respectivos ciclos. A este tipo de relación, Pressing le llama “transformación análoga”, ya que aquí la relación entre valores largos (12, en ambos patrones rítmicos) y cortos (8, en el patrón estándar africano, y 9 o 6, en la clave cubana) no se altera (a pesar de las diferentes relaciones matemáticas que el uno y el otro presentan). Asimismo, Pressing apunta que, desde el punto de vista de la percepción,  el ritmo de clave presenta una estrecha relación de analogía con el ampliamente difundido patrón 22323 de la música africana (Pressing 1983: 46).

En las conclusiones de su artículo, Pressing señala que los diversos patrones rítmicos analizados desde el punto de vista de la teoría matemática de grupos y la percepción pueden ser derivados de unos pocos patrones básicos mediante una o más de las cinco reglas de transformación que él establece, entre ellas, la “aproximación análoga de máxima similitud, como en el ejemplo de la relación de 22323 con 33424” (Pressing 1983: 52), es decir, del patrón estándar africano con la clave cubana. A lo expresado, Pressing añade: “Las transformaciones más comunes y básicas son las que preservan el patrón en un sentido holístico” (Ibidem).

Estas reflexiones de Pressing justifican la  siguiente conclusión: dado que las líneas temporales específicas pueden ser preservadas “en un sentido holístico” y desde el punto de vista de la percepción, las mismas son reconocibles como tales aun cuando las relaciones matemáticas entre sus valores sean alteradas, como ha sucedido con la clave cubana. Esto contradice frontalmente la afirmación de Kubik de que las líneas temporales son invariables y cualquier alteración en su estructura matemática disuelve el patrón.

En este contexto, es de destacar que en la música cubana no sólo existe la clave de son como derivación de un modelo africano, sino también existen otras dos líneas temporales que se hallan en el mismo caso. Una es la llamada clave de rumba, representada en 1a), que tiene su análogo ternario en la llamada clave abakuá, representada en 1b), y es característica de la música de una sociedad secreta masculina que tiene sus raíces en el sudeste de Nigeria y las áreas limítrofes de Camerún. La otra es la clave de bembé binaria, representada en 2a), derivada de la notoria clave de bembé ternaria, representada en 2b). La clave de bembé binaria se ha empleado en versiones binarizadas de algunos cantos de la santería cubana, tal como los escuchamos en 1982 en el poblado de Guasimal, provincia Sancti Spiritus ˚donde se ejecutaban versiones binarias o ternarias de un mismo canto ritual, acompañadas de tambores y un azadón percutido con el cual se ejecutaba la línea temporal˚, y tal como se toca en las comparsas carnavalescas de la ciudad de Sancti Spiritus, provincia homónima, en la región central de Cuba.  Véase.

1a) Clave de rumba (16 puls.) [ x . .  x . . . x . . x . x . . . ]   o bien  34324

1b) Clave abakuá (12 puls.) [ x . x . . x . x . x . . ]   o bien  23223

2a) Clave de bembé (16 puls.) [ x . . x . . x x . . x . x . . x ]   o bien  3313231

2b (Clave de bembé (12 puls.) [ x . x . x x . x . x . x ]   o bien  2212221

Las líneas temporales 1a) y 1b) pueden ser comparadas, siguiendo el procedimiento de Pressing, tomando como unidad el mínimo común múltiplo:

1a) 9+12+9+6+12/48

1b) 8+12+8+8+12/48

Lo mismo puede aplicarse a las líneas temporales 2a) y 2b), tal como se muestra a continuación:

2a) 9+9+3+9+6+9+3/48

2b) 8+8+4+8+8+8+4/48

Es de especial importancia consignar que los puntos de vista de Pressing resumidos páginas atrás son compatibles con, y complementarios de, los que nosotros hemos planteado. Nuestros planteamientos básicos son los siguientes:

En América Latina ha habido un proceso de transformación que ha convertido los ritmos ternarios africanos en binarios, el cual llamamos proceso de binarización. Esta hipótesis básica es formulada de la manera siguiente:

Existe en la música vocal del africano una tendencia a la transformación binaria de los ritmos ternarios, la cual se manifiesta cuando un sujeto adopta cantos no pertenecientes a la tradición de su grupo tribal o étnico […], es decir, en casos donde se produce un préstamo de tradiciones musicales. Puede afirmarse, pues, que en el desarrollo del proceso de binarización intervienen dos factores: uno de carácter psicológico (la tendencia binarizadora) y otro de índole social (el préstamo cultural).

Al ser trasladado al Nuevo Mundo, el esclavo africano entró en contacto con las culturas dominantes europeas y con las culturas autóctonas, así como con tradiciones culturales de etnias también africanas pero ajenas a la suya propia. […] éste comenzó a participar activamente en un proceso de transculturación generalizado. En estas circunstancias, la tendencia binarizadora se manifestó, ciertamente; pero la misma fue inhibida o estimulada según cuál fuera el componente étnico de la sociedad que predominó culturalmente en el medio donde tuvieron lugar tales préstamos.

En las regiones donde por razones de índole económica se llevó a cabo una masiva importación de esclavos negros, fue determinante el préstamo inter-étnico o inter-tribal en el seno de los grupos africanos, donde bajo las circunstancias de una esclavitud opresiva y del régimen carcelario de la plantación se desarrolló una cultura de resistencia opuesta a la cultura de dominación del europeo […] Por consiguiente, la tendencia binarizadora encontró aquí  condiciones favorables para su desarrollo, lo que provocó un predominio del ritmo binario de la música afroide y aun en la música del conjunto de la sociedad. Los patrones rítmicos ternarios adoptaron nuevas formas, pero conservaron características originales que posibilitan su identificación y el trazado de su trayectoria evolutiva (Pérez Fernández 1986: 14-15).

El proceso de binarización no se limitó a la música vocal, pues si bien partió de ésta, el desarrollo de la tendencia binarizadora provocó que en ciertos casos se adoptaran ritmos instrumentales binarios para ser ejecutados simultáneamente con cantos ya binarizados o en proceso de transformación binaria. En otros casos, los ritmos instrumentales ternarios a los que se superpuso un canto binarizado o en proceso de estarlo, sufrieron también una transformación en ese sentido, la cual puede ser parcial o total (Pérez Fernández 1986: 16).

Los patrones rítmicos más sobresalientes entre los que experimentaron la transmutación aludida fueron precisamente las líneas temporales, que, sin embargo, “conservaron características originales que posibilitan su identificación y el trazado de su trayectoria evolutiva”, tal como se ha dicho de los ritmos ternarios en general.

Como se habrá podido observar, los puntos de vista de Kubik son, en principio, opuestos a estos planteamientos. Ante todo, Kubik cree firmemente que las líneas temporales son inmunes a la influencia de los factores sociales, culturales y ambientales, aspectos esenciales de nuestras teorías. Kubik contempla, asimismo, la posibilidad de una “reinterpretación hispanocubana” de modelos africanos. En contraste, nosotros planteamos la centralidad del préstamo inter-tribal o inter-étnico africano, no de una transculturación afrohispánica. El planteamiento, expuesto más explícitamente, es:

…en la llamada franja negra ˚donde se desarrolló la economía de plantación˚ ha tenido lugar fundamentalmente un proceso transcultural interétnico e intertribal dentro de los grupos de africanos; mientras que más allá de esta orla atlántica, se produjo sobre todo un proceso de transculturación afrohispánico (Pérez Fernández 1986: 45).

Aquí se especifica que el proceso de binarización se produjo en la llamada orla atlántica o franja negra, donde existe una densa población de origen africano, y que se extiende a lo largo del sector oriental del continente americano. El proceso de binarización está asociado también a la economía monocultora de plantación que allí se desarrolló, la cual supone determinadas condiciones ambientales propias de las tierras bajas de la América Latina tropical. En contraste, fuera de la orla atlántica, en las zonas altas que se extienden a lo largo del sector occidental del continente como su espina dorsal ˚caracterizada por una economía extractiva pero diversificada˚ y donde la población africana y afrodescendiente fue menos numerosa, tuvo lugar un proceso de transculturación afrohispánico. Por consiguiente, la binarización de los ritmos ternarios africanos no se desarrolló ampliamente aquí, lo cual no impidió que los patrones rítmicos ternarios africanos fueran incorporados en su forma original, por ejemplo, en el caso de México (cf. Pérez Fernández 1990, 2003).

Kubik cree también posible la desaparición de la clave del son en África, donde ésta habría existido durante los siglos XVI, XVII y XVIII y, no obstante, se habría conservado en América. Sin embargo, existen muchas evidencias de que ciertamente se produjo el proceso de transformación rítmica ya examinado aquí. No hay, en cambio, ninguna evidencia de la existencia de la clave del son en la música de África con anterioridad a la influencia musical cubana.  Es ésta una conjetura muy difícil ˚por no decir imposible˚ de contrastar, por lo cual es sumamente improbable que alguna vez llegue a merecer la categoría de hipótesis.

Es obvio, por otra parte, que como ya hemos visto, la posibilidad de una transformación binaria es incompatible con el supuesto carácter invariable de las líneas temporales afirmado por el propio Kubik, con anterioridad y con posterioridad a sus comentarios acerca de la clave del son.

La ciencia está en permanente desarrollo, y nadie puede pretender ser dueño de la verdad. “[L]a ciencia no pretende ser verdadera, ni, por tanto, final e incorregible, cierta”,  tal como acertadamente ha manifestado Mario Bunge (2004: 26). Y, citando nuevamente a Bunge, se debe recordar lo siguiente:

Cuanto más rentables son los problemas descubiertos, planteados y resueltos por un investigador, tanto mayor es la valía de éste. No hace falta que los resuelva todos: basta con que suministre ˚directa o indirectamente˚ a otros investigadores problemas cuya solución puede constituir un progreso relevante del conocimiento. (Bunge 2004: 145).

Traemos a colación lo anterior por cuanto desde el año 2005 Godfried Toussaint, de la School of Computer Science de la Universidad McGill, Montreal, así como algunos colegas suyos participan en “un proyecto de investigación para desarrollar modelos matemáticos de binarización”. Ellos están llevando a cabo asimismo “un análisis filogenético de ritmos africanos y latinoamericanos” para someter a prueba nuestras teorías, ha escrito Toussaint (2006a) en un mensaje electrónico.^[8] En otro mensaje dirigido a nosotros, Toussaint ha ofrecido mayores detalles al respecto:

…, junto con el Prof. Paco [Francisco] Gómez organicé el Third International Workshop on Computational Music Theory en la Universidad Politécnica de Madrid, Escuela Universitaria de Informática, Madrid, España, del 13 al 17 de junio de 2005, en el cual el tema fue The Binarization of Ternary Rhythms. Nuestro grupo tuvo otros investigadores: David Rappaport, Erin McLeish, Joerg Kienzle, Shima Kobayashi y Andrew Melvin. Nuestro proyecto de investigación consiste en hacer un análisis filogenético para someter a prueba su teoría desde el punto de vista matemático, de la misma manera que los biólogos estudian las secuencias moleculares (Toussaint 2006c).

Por último, se debe añadir que Toussaint nos invitó a participar en dicho proyecto y a colaborar como coautor en la futura publicación de sus resultados (Toussaint 2006d), los cuales aparecerán en las memorias de la conferencia anual de 2007 de la Bridges Organization (cf. Gómez et al. 2007). Dicha organización se aboca al estudio de las conexiones matemáticas en el arte, la música y la ciencia. Con dichos resultados, cabe esperar, en efecto, un progreso relevante en el conocimiento de las importantes problemáticas aquí abordadas.

Notas

• [1] Al omitir el título del libro que aborda la problemática de la binarización, que, se da por sentado, fue la fuente utilizada por Acosta, así como al prescindir  del nombre de su autor, Acosta infringe una de las normas de lo que Umberto Eco concibe como cientificidad, en sentido amplio. Dicha norma, cuyo cumplimiento Eco considera un “requisito fundamental”, establece que “[l]a investigación debe suministrar elementos para la verificación y la refutación de las hipótesis que presenta, y por tanto tiene que suministrar los elementos necesarios para su seguimiento público” (Eco 1998: 51).
• [2] Las traducciones del inglés y del alemán contenidas en este artículo son nuestras
• [3] Con un propósito similar, este método de notación por casillas es usado por  Peter Manuel (1995: 8), junto a la notación proporcional occidental.
• [4] La transcripción de Koetting constituye una verdadera partitura y es capaz de representar adecuadamente la polirritmia africana. Por otro lado, el  sistema TUBS  utilizado por Koetting es un tipo de notación que, de acuerdo con uno de los diversos parámetros de los sistemas de notación (la “referencia”), es de carácter más bien articulatorio, y no tanto acústico, es decir, la notación representa las acciones necesarias para conseguir determinado resultado acústico y no el resultado acústico mismo. “Las notaciones articulatorias remiten a las acciones como causa de los eventos sonoros; las notaciones acústicas, a los eventos sonoros como efectos de las acciones” (Ellingson 1992: 156-158).
• [5] Se prescinde aquí del sistema de notación mediante dígitos debido a que la segunda y tercera líneas temporales mostradas inician con un silencio (equivalente a una y dos pulsaciones elementales, respectivamente), lo cual constituye una dificultad para su notación en dicho sistema.
• [6] Existen por lo menos tres reseñas del citado libro, publicadas en 1990 en revistas especializadas de amplia circulación (Latin American Music Review, Ethnomusicology, Yearbook for Traditional Music), y tanto el libro como dichas reseñas aparecen registrados en el RILM Abstracts of Music Literature (Mackenzie 1990: 374).
• [7] Al respecto, conviene advertir que Agawu informa acerca de la existencia en Ghana de una línea temporal idéntica a la clave del son, la de la danza Kpanlogo, un baile popular de los ga (Agawu 2003: 75-76). Esta coincidencia podría ser resultado, ciertamente, de un influencia cubana, o bien de un proceso de binarización reciente semejante al que, a juicio de este autor, ha tenido lugar en América Latina. De hecho, habría razones para pensar ˚permítasenos la conjetura˚ que la línea temporal de la danza Gahu, de los ewe de Ghana, es resultado de la binarización de un ritmo originariamente ternario. Acerca de esta danza, David Locke escribe: “Según Kobla Ladzekpo, una bien conocida autoridad en la cultura tradicional ewe, [la danza] Gahu fue creada por hablantes de yoruba de Benín, en Nigeria, como forma de comentario satírico sobre la modernización. Los ejecutantes se burlaban de los modales pomposos de los africanos que habían estado en Europa o que volvían la espalda a la tradición e imitaban afectadamente las maneras europeas. […] Gideon Alorwoyie […] dice que la danza fue traída por primera vez a Ghana a principios de la década de 1950 por un hombre de la aldea de Anlo-Afiadenyigba. El señor Alorwoyie hace hincapié en que la pieza se tornó especialmente popular entre la gente joven debido a la cualidad juguetonamente erótica y amiga de la diversión de su música y baile, y al precioso estilo de su vestuario” (Locke 1997: 5). En primer lugar, el proceso de binarización tiene lugar, de acuerdo con lo planteado por nosotros (Pérez Fernández 1986), especialmente en los casos de préstamo cultural entre diferente grupos étnicos africanos, como más adelante se verá, y éste es uno caso de préstamo cultural (de los yoruba a los ewe); en segundo lugar, Locke (1982) ha comentado que el ritmo binario (característico de la danza Gahu) es concebido por los ewe como ‘alegre’ (gay), ‘desenfadado’ (lighthearted), en contraste con el ritmo ternario, que es considerado por ellos como fuerte (strong), ‘conmovedor’ (poignant). El carácter jocoso de la danza Gahu y su procedencia foránea son, ambas, condiciones que, a nuestro juicio, habrían podido favorecer una transformación binaria en su desarrollo. La línea temporal de dicha danza es: (16) [ x . . x . . x . . . x . . . x . ] Ésta posee características semejantes a dos líneas temporales binarizadas cubanas, como la clave de son y la clave de rumba. El modelo ternario original podría haber sido: (12) [ x . x . x . . x . . x . ]
• [8] Uno de los motivos del interés suscitado por las teorías en cuestión ha sido expuesto por Toussaint en un trabajo reciente, donde ha manifestado que mucho de la investigación en musicología evolutiva se ha centrado en el papel desempeñado por la música en la evolución de los humanos y otros animales, en la evolución comparativa de las habilidades musicales en los humanos y otros animales o en la historia de los instrumentos musicales, mientras que la investigación en el terreno de la evolución del objeto musical mismo es más difícil de encontrar. Uno de los tres ejemplos de este tipo de investigación mencionados por Toussaint es nuestra obra (1996), que, en palabras de Toussaint, “describe cómo los ritmos ternarios africanos que viajaron a la América mutaron a formas de ritmo binario a medida que la música más tradicional se desarrolló hacia la música popular comercial, proceso que él ha catalogado como binarización“ (Toussaint 2006b). Es preciso aclarar, sin embargo, que el acercamiento al estudio de la evolución de la música por medio de la computación evolutiva es completamente diferente al de las técnicas comparativas no matemáticas. En la computación evolutiva el objeto de estudio es la música misma, no el animal humano que produce este objeto, y el proceso evolutivo es sometido a prueba simulando un modelo de evolución en la computadora (Ibidem).

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